CaGentong

Eksponen (pangkat)

EKSPONEN atau perpangkatan adalah dalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut:

x^y

. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti

2^3

.

Latar belakang dan terminologi

Ekspresi b² = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b². Diucapkan "b kuadrat" atau "b pangkat dua" (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b³ = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b³. Diucapkan "b pangkat tiga" (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama.

Misalnya, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah(hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 3, 3 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lima (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata "dipangkatkan" biasanya disingkat hanya menjadi "pangkat", sehingga 3⁵ biasanya diucapkan "tiga pangkat lima" (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bⁿ dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.

Kata "eksponen" (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.

Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.

Eksponen integer

Bilangan

x

disebut bilangan pokok, dan bilangan

y

disebut eksponen. Sebagai contoh, pada

2^3

, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung

2^3

seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga

2^3=2 \cdot 2 \cdot 2

. Hasilnya adalah

2 \cdot 2 \cdot 2=8

. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

$5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125$
$x^2=x\cdot{} x$
$1^x = 1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan

a^2

. Sehingga

x^2

adalah persegi dari

x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan

a^3

. Sehingga

x^3

adalah kubik

x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung invers bilangan pokok. Sehingga:

x^{-1}=\frac{1}{x}

Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}

Jika eksponen sama dengan

\frac{1}{2}

hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga

x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}.

Contoh:

4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2

Dengan cara yang sama, jika eksponen

\frac{1}{n}

hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

Jika eksponen merupakan bilangan rasional

\frac{p}{q}

, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ke tidak terhinggaan bilangan rasional(x_i), yang limitnya adalah x:

x=\lim_{n\to\infty}x_n

seperti ini:

a^x=\lim_{n\to\infty}a^{x_n}

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$
$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$a^0 = 1,\quad a\neq 0$ : Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh:

I^2=I \cdot I=I

Ekponen bilangan bulat

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Sifat-sifat Ekponen

1) A^p x A^q = A^p+q

Contoh:

2⁷+2⁴= 2⁷⁺⁴

= 2¹¹

=2048

2) A^a =A^a-b

A^b

Contoh:

2⁸ =2^8-4 =2⁴ = 16

2⁴

3) (a^a) b = a^{p x q}

Contoh:

(2⁴) X 2 = 2^{4 x 2}

=2⁶

4) (a x b)^p =a^p x b^p

Contoh:

(2 x 3)⁴ = 2⁴ X 3⁴

= 16 x 81

= 1.296

5) A⁰ = 1

Contoh:

4⁰=1

5⁰=1

1857⁰=1

6) A^-p= -/+a^x

X= jika di kali dengan angka genap maka hasilnya positif /a, jika di kali dengan angka ganjil maka hasilnya negatif

Contoh:

5^-6=15.625

3^-3= -81

4^-2=16

8^-3= -512

CaGentong

Selasa, 19 April 2016

Tidak ada komentar:

Posting Komentar